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五年级奥数天天练(10.9)

来源:家长帮社区      2011-10-13 16:31:41

  第一题:

  在11张卡片上各写有一个不超过5的数字。将这些卡片排成一行,得到一个11位数。再将它们按另一种方式排成一行,得到另一个11位数。请你说明,如果把这两个11位数加起来,那么结果一定至少有一位是偶数。

  第二题:

  现在有11块铁,每一块的重量都是一个整数。任取其中的10块,都可以分成重量完全相同的两组,每一组都有5块。那么,这11块铁的重量满足一个什么样的规律呢?

  【参考答案】

  第一题:

  如果在求和时有进位的话,一定是这两个数的同一位上都是5.而且在出现进位的最右端的位置上,和数的该位数字一定是0,为偶数。

  如果没有进位的话,那么只有在两个11位数的同一位数字的奇偶性不同时,和数的该位数字才是奇数。如果要所有位置都是奇数,那么卡片上奇数和偶数的数量必然相同。然而卡片一共有11张,是奇数,所以这种现象不可能出现,因此和数中至少有一位是偶数。

  第二题:

  这道是95年的老题,不过威力十足啊。

  首先,这些铁块一定满足如下的规律:

  1).所有铁块的重量的奇偶性相同。由于任意十块的重量都是偶数很容易得出这一点。

  2).所有铁块都减去相同的重量,题中条件仍然满足。

  3).如果所有铁块重量都是偶数,那么把每块铁重量减半,依然符合题意。

  现在,我们假设最轻的一块铁重量为L。如果把所有铁块的重量都减去L,那么就至少有一块的重量成为0。那么,由1)可知,其余铁块剩下的质量也必然是偶数。如果铁块重量不完全相同,那么就一定有此时不为0的铁块,它们的重量可以写成(2^k)×q的形式,其中k是正整数,q是奇数。而在这些铁块中,我们找出k最小的一块,设它的重量为(2^k0)×q0.此时对这11块铁,连续进行k0次3)的步骤,便得到11块满足题意的铁块,而他们的奇偶性不相同,与1)矛盾。所以,原来的11块铁每一块的质量都是L。也就是说,所有铁块的重量都是相等的。

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